Chapitre 3 – Les SHTIS : des instruments d’augmentation du dialogue d’ingénierie et des vecteurs de renouvellement des habitudes du chercheur

Ce troisième chapitre vise à rendre compte de la manière dont les SHTIS peuvent être considérés comme des augmentateurs du dialogue d’ingénierie. Il s’agira de plonger le lecteur dans le récit concret du déploiement d’un SHTIS au sein de l’ingénierie ACE décrite précédemment. Pour servir notre propos nous reprendrons à notre compte les notions de visibilités et d’énoncés exprimées par Deleuze et déjà évoquées à l’occasion du chapitre inaugural[1] et nous caractériserons les SHTIS comme des instruments au sens de Bachelard (1970).

A la suite de cette plongée dans le concret du récit d’une pratique singulière, nous effectuerons une extrapolation qui nous conduira à poser les premiers jalons du programme de recherche que nous souhaitons développer à la suite de ce travail doctoral. Il s’agira de considérer les SHTIS comme des éléments de renouvellement des habitudes du chercheur.

Le chapitre 3 s’organisera donc en trois parties : une première où nous donnerons les formules abstraites qui permettent de considérer les SHTIS comme des instruments ; une seconde qui consistera à concrétiser ces formules dans un exemple concret ; et une troisième où nous traiterons des SHTIS comme vecteur de renouvellement des habitudes du chercheur.

Notions d’instrumentation

Il s’agit ici d’appliquer aux sciences de l’homme un principe éprouvé de longue date dans les sciences dites « de la nature ». Ce principe est celui qui consiste à considérer l’appareillage dit technique comme faisant partie intégrante de la théorie qui l’utilise. Bachelard tire de ce principe le concept de phénoménotechnique.

Vial (2012) date l’apparition de ce terme, construit par Bachelard, dans un article de 1931. Pour l’auteur (Ibid, p. 143), « ce terme met en lumière l’une des caractéristiques fondamentales de la science moderne selon laquelle le travail scientifique ne consiste pas à décrire les phénomènes comme s’ils préexistaient à la théorie qui les pense, mais à les construire intégralement grâce à des dispositifs techniques capables de les faire apparaitre et, partant, de les faire exister comme phénomènes proprement dit ». En d’autres termes, la science moderne telle qu’elle est pensée par Bachelard, est l’activité qui consiste à produire des phénomènes au moyen d’instruments ad hoc. L’objet principal de nos travaux sur les SHTIS est de considérer ces derniers comme des instruments capables de mettre en lumière des phénomènes éducatifs.

La principale fonction d’une entreprise de production de phénomènes, donc d’une phénoménotechnique scientifique nous dit Bachelard, est de renforcer « ce qui transparait derrière ce qui apparaît [et de s’instruire] par ce qu’elle construit. » (Bachelard, 1991, p. 16). Ce renforcement et cette instruction nous semble de la même nature que ce que Deleuze (1986) décrivait dans son analyse de la pensée foucaldienne. Lorsque Deleuze parle d’une théorie reposant sur la mise en lumière, c’est-à-dire sur l’éclairage par les mots (les énoncés non révélés jusqu’alors) et les choses (les visibilités à mettre en lumière), il nous semble qu’il traite d’une forme d’ascension de l’abstrait au concret. Autrement dit, révéler les énoncés et les visibilités, c’est traduire une formule abstraite – dans le champ de la physique par exemple, la formule abstraite est très souvent exprimée dans la forme symbolique du modèle – en la plongeant dans une expérience phénoménale. A cette aune, et nous tenterons nous-même cette plongée dans le concret d’un exemple dans la suite de ce chapitre, le SHTIS se révèle être un instrument, ou pour reprendre le vocable de Deleuze, une machine[2].

Mais en plus de révéler ces phénomènes en les inscrivant[3] dans des systèmes multimodulaires en annotation réciproque, nous pensons que les SHTIS permettent au collectif qui les manipule de se forger et de partager une culture commune qui leur permette de poursuivre des objectifs communs. Pour le dire autrement, de se constituer un « style de pensée » (voir chapitre 2).

L’ensemble de ce qui vient d’être dit nous amène à un prolongement naturel de la pensée bachelardienne. En effet, si nous considérons les SHTIS comme des instruments inscripteurs-producteurs de phénomènes, nous plaidons également pour qu’ils soient des vecteurs de création d’un style de pensée propre à l’ingénierie. Ce faisant, le prolongement s’opère en direction de la diffusion des savoirs – couple visibilités/énoncés chez Foucault – produits par les instruments que sont les SHTIS. Ce prolongement donne un milieu à ces savoirs en les concrétisant une seconde fois à l’intérieur d’une théorie de l’exemple paradigmatique. Le schéma à suivre (figure 129) vise à illustrer cela :

Figure 129. Les SHTIS, entre descriptions et inscriptions de phénomènes et incarnation d’un style de pensée

Sur ce schéma, la partie de gauche correspond à la phase de production de phénomènes au sens entendu par Bachelard, c’est-à-dire à l’entreprise de phénoménotechnique qu’il décrit dans son article de 1931. Décrivons brièvement cette partie : (1) un SHTIS, c’est-à-dire un système de représentations multimodulaire en annotation réciproque issu d’un recueil d’obtenus, est déployé au sein d’une ingénierie ; (2) ce SHTIS permet d’organiser les conditions d’appréhension des phénomènes qu’il contient et in fine d’organiser le dialogue à l’intérieur de l’ingénierie ; (3) les fruits de ce dialogue sont traduits par l’ingénierie en hypothèses de travail ; (4) ces hypothèses de travail sont mises à l’épreuve par le recours à la démarche itérative propre aux ingénieries coopératives ; (5) la mise en œuvre donne lieu à l’enrichissement du SHTIS d’origine ou à la production d’un nouveau SHTIS

La partie de droite quant à elle, correspond au prolongement de la pensée de Bachelard tel que nous l’avons évoqué ci-dessus. Dans cette partie, le SHTIS joue le même rôle d’organisation du dialogue d’ingénierie et d’appréhension des phénomènes mais en plus de ce qui était décrit en partie latérale gauche, se joue la construction du style de pensée propre à l’ingénierie. Il est important de noter que les deux parties du schéma vivent selon une temporalité sensiblement différente. Si l’on part du principe que la partie latérale gauche fonctionne sur une dynamique plutôt rapide, alors la partie latérale de droite s’avère beaucoup plus lente. A terme l’ensemble des hypothèses de travail stabilisées forme des exemples emblématiques de la démarche véhiculée par l’ingénierie. Cet ensemble, qui incarne le style de pensée propre au collectif peut alors constituer un nouveau système de diffusion permettant de médiatiser la démarche à l’extérieur de l’ingénierie[4].

Quels phénomènes les SHTIS permettent-ils d’éprouver ?

A la suite de son analyse de la vision bachelardienne de la phénoménologie scientifique, Vial (2012) – dont l’objet, rappelons-le est de rendre compte de la structure de la révolution numérique – opère une généralisation. Il généralise ainsi la portée des enseignements tirés de Bachelard aux phénomènes dits mondains (Vial, Ibid., p. 146). Pour l’auteur, « le phénomène du monde, c’est tout ce qui apparaît et, par suite, s’offre à vivre, éprouver, investir ». Eprouver un phénomène est donc avant tout une affaire de perception. Vial le mentionne quant à lui de cette manière :

« L’expérience, c’est le fait de la perception. Et la perception, c’est l’interaction avec le phénomène. » (Vial, 2012, p. 147).

Les SHTIS que nous produisons ont pour principal objectif de faire vivre des idées-pratiques, soit, explicitement, ce que Vial nomme les phénomènes mondains. Ces idées- pratiques, sont érigées en hypothèses de travail par l’ingénierie qui les donne à voir et à comprendre. A l’occasion d’une conférence[5] donnée en mai 1987 dans le cadre des « mardis de la fondation » de l’École nationale supérieure des Métiers de l’Image et du Son (FEMIS), Deleuze définit une idée comme un potentiel engagé. Le complexe idée-pratique doit être entendu de la sorte, c’est-à-dire comme une hypothèse de travail issue directement de la pratique et chargée d’un potentiel. Le SHTIS est donc à la fois l’instrument qui permet de donner vie à l’idée-pratique et l’instrument qui permet d’en éprouver la consistance une fois celle-ci érigée par l’ingénierie en hypothèse de travail.

La seconde partie de ce chapitre illustre la manière dont un SHTIS particulier a pu entrer dans le cycle décrit dans la figure 129 précédemment donnée à voir. En d’autres termes, cette partie renvoie à la manière dont un SHTIS déployé au sein d’une ingénierie a pu faire germer une idée-pratique et comment cette idée-pratique est en passe de se voir institutionnalisée au sein de l’ingénierie. Si l’on se réfère au schéma précédent, présenté à travers la figure 124, la suite de ce chapitre consistera à illustrer le fonctionnement de la partie latérale gauche.

De l’idée-pratique à sa mise en acte : au cœur de l’ingénierie

Préalables

Avant de nous livrer à la description fine et concrète de la manière dont l’idée-pratique d’approximation a germé au sein de l’ingénierie, il nous faut préciser un point. Les lignes à venir doivent en effet être vues comme le fruit d’un instantané que l’on aurait pris à un moment donné. Cela pourrait, à certains moments, déformer le prisme d’analyse du lecteur. Par exemple, quand il s’apercevra que l’idée-pratique mise en acte n’est apparemment le fruit du dialogue des deux seuls membres de l’ingénierie présents dans les échanges, il ne faudra pas en déduire que la germination de l’idée-pratique d’approximation ne se fonde que sur la seule action de ces deux seuls protagonistes. Cette idée n’a pu germer que parce que les deux personnes en question pratiquent le même style de pensée et partagent – avec plusieurs autres – un grand nombre d’expériences d’ingénierie[6].

Si nous ne sommes pas capables de donner à voir et à comprendre ce qui fonde ces expériences partagées et ce style de pensée commun[7], nous pourrons toutefois nous appuyer sur un corpus particulier. Ce corpus permettra de laisser poindre une forme de dynamique de production. Comme ce fut déjà le cas dans le chapitre précédent, notre analyse se fondera d’abord sur les courriels échangés entre Gérard Sensevy et Olivier Lerbour, du 16 février 2018 au 27 avril de la même année.

Malgré cela et pour les raisons exprimées précédemment, nous ferons référence à l’ingénierie dans son intégralité lorsque nous relaterons les faits ayant conduit à la germination de l’idée d’approximation au sein du groupe de recherche ACE.

De l’idée-pratique à sa mise en acte : une chronologie

L’objet de cette partie du chapitre 3, rappelons-le, est de faire le récit concret de la manière dont une idée-pratique a pu naitre au sein de l’ingénierie. En écho à ce qui a pu être écrit précédemment, il s’agit d’illustrer la partie latérale gauche du schéma que nous avons proposé auparavant (voir figure 129). Pour mémoire, nous reproduisons cette seule partie latérale gauche dans la figure à suivre (figure 130) :

Figure 130. Les SHTIS, instruments d’inscription et de description de phénomènes

Le lecteur est désormais familier avec le SHTIS dont il est question ici. En effet, ce SHTIS est celui qui a servi notre propos dans le chapitre précédent et qui était intitulé « Explorer la ligne, explorer la différence ».

A toutes fins utiles, ce SHTIS peut être à nouveau consulté ci-dessous :

 

Ce SHTIS est le premier à avoir été conçu au sein de l’ingénierie ACE, suite au mail d’appel à contribution envoyé par nos soins le 16 février. Il est le fruit d’un travail collectif qui a débuté le 22 février 2018 et qui a donné lieu à une première projection dans l’ingénierie le 12 avril. Pour situer les principaux jalons qui ont conduits à cette co-conception, nous avons élaboré une frise chronologique. Cette frise est augmentée des principaux documents[8] (extraits de mail, liens connexes) convoqués pour illustrer la manière dont le SHTIS a été conçu. Le lecteur pourra se reporter à l’élément  qui suit :

http://pukao.espe-bretagne.fr/public/tjnb/timeline_explorer_la_ligne/index.html

Avec le schéma précédent, cette frise interactive complète les éléments sur lesquels nous allons maintenant appuyer nos propos. Nous en proposons une vue statique à travers la figure 131 ci-dessous :

Figure 131. Chronologie de la genèse de l’idée-pratique d’approximation dans ACE

 

Une première apparition de l’idée-pratique du recours à l’approximation

Le 22 février, Olivier Lerbour, l’un des membres de l’ingénierie à l’initiative du SHTIS « Explorer la ligne, explorer la différence[9] » propose les premiers éléments d’un scénario du SHTIS amené à être conçu. En plus d’un document proche d’une fiche de préparation de séance succincte faisant office de scénario pour le SHTIS, Olivier Lerbour propose également un ensemble de productions d’élèves extraites de leur journal du nombre[10]. Parmi ces productions, celles de deux élèves sont prises comme exemple par Gérard Sensevy pour proposer deux stratégies de recherche de différence. Ces productions, celles de Gustave et de Mathurin, sont proposées respectivement ci-dessous à travers les figures 132 et 133 :

Figure 132. La recherche de Gustave

Figure 133. La recherche de Mathurin

L’erreur dans la relation didactique : aparté

On pourra se rendre compte que le choix de ces deux productions n’a pas pour motif la justesse des résultats produits. Si ce travail doctoral n’a pas pour objectif de traiter du « statut de l’erreur dans la relation didactique » (Ravestein & Sensevy, 1993), cet exemple particulier nous donne l’occasion d’un aparté rapide à propos de ce statut (en particulier dans la démarche ACE). Ce statut est celui qu’exposent dès 1993 Ravestein et Sensevy lorsqu’ils indiquent que « l’erreur, par le discours qu’elle provoque, par le message qu’elle envoie, par les repères qu’elle crée, est bel et bien le principal vecteur de la communication sur ce qui façonne pour l’essentiel la relation didactique : enseigner, apprendre… et montrer que l’on sait » (Ibid.). Ce statut est celui que les auteurs analysent lorsqu’ils s’appuient sur le cas d’Eric pour parvenir à définir l’erreur dans la relation didactique comme une défaillance dans l’action de production et de déchiffrement des signes qui permettent l’établissement du « dialogue symbolique » entre l’élève et le problème. Autrement dit, l’erreur analysée au prisme de la relation didactique tire avant tout sa cause des effets de sémiose[11] entre les composants de ladite relation (élève – professeur – savoir).

Dans le cas de l’ingénierie ACE une définition de l’erreur comme source de discours et de repères est d’autant plus marquée que la démarche ACE est précisément axée sur l’utilisation de systèmes sémiotiques, de représentations, pour écrire les mathématiques. Lorsqu’un professeur partage avec l’ingénierie les productions des élèves recueillies dans les journaux du nombre, il fournit le socle minimum qui permettra d’initier le discours d’ingénierie. Et dans ce jeu discursif, les productions donnant à voir des erreurs, au sens de Ravestein et Sensevy, sont souvent les plus fertiles. On peut ajouter ici que ces erreurs détiennent leur sens principal non pas seulement par rapport au travail des élèves, mais surtout dans la mesure où elles vont permettre des modifications du dispositif didactique, de la progression ACE, à travers le dialogue d’ingénierie. Si l’erreur est ici strictement envisagée du point de vue de la relation didactique – elle conduirait de ce point de vue à préconiser au professeur une modification locale dans sa relation didactique – l’ingénierie ACE propose également une vision systémique de l’erreur. Ainsi, cette dernière constitue un indicateur que l’ingénierie prend en compte pour modifier le dispositif didactique dans son ensemble – donc plus seulement localement.

Retour à l’apparition de l’idée-pratique d’approximation

Si l’on revient aux productions de Gustave et de Mathurin, on s’aperçoit de la richesse du système sémiotique qui leur permet de faire face au problème qu’ils se sont posés. Mais l’on s’aperçoit également que les calculs de différence inventés par les deux élèves sont a priori à leur portée. Outre ce motif d’accessibilité a priori, Gérard Sensevy indique avoir sélectionné ces deux productions parce qu’elles donnent à voir deux types de recherches de différence qui auraient pu se résoudre au moyen de deux stratégies accessibles à des élèves de cours préparatoire. Ces deux stratégies sont (i) la recherche de la différence par regroupement en dizaines et (ii) la soustraction par morceaux. La reconstitution du courriel émis par Gérard Sensevy, ci-dessous (figure 134, c’est nous qui surlignons) rend compte de ces deux manières de résoudre le problème :

Le 22/02/18, Sensevy Gerard a écrit :

Merci !

Les productions, qu’elles soient de très haut niveau ou moins avancées, donnent vraiment à réfléchir.

Par exemple, le fait qu’on pourrait faire précéder le « explorer la ligne » d’un ordre de grandeur.

Dans certains cas, cela permettrait d’obtenir directement le résultat. Par exemple, pour 100 – 40 (Gustave), on pourrait dire 10 dizaines – 4 dizaines, cela fait 6 dizaines, on peut trouver directement, sans explorer la ligne. Le jeu à pratiquer alors serait « Trouver directement, sans explorer la ligne ».

L’idée serait toujours que les élèves s’engagent dans un processus d’enquête, d’observation attentive de l’opération ou de l’égalité, avant de se mettre à agir.

De même pour 127 – 30 (Mathurin), avec l’idée que 127 – 30, c’est 127 – 27 – 3. Le journal du nombre permettrait d’exploiter de telles manières de faire (« compter en dizaines », ci-dessus, ou bien « soustraire par morceaux », pour 127 – 30).

Gérard

Figure 134. Courriel de Gérard Sensevy du 22 février 2018

Ce courriel contient à la fois le germe d’une nouvelle idée (celle de l’approximation, surlignée ici en jaune) et le noyau d’activité essentiel qui fonde la démarche ACE (la notion d’enquête à propos des nombres, surlignée ici en bleu). A ce stade du discours d’ingénierie, rien ne nous dit si cette première version de l’idée pratique d’approximation (désignée ici comme un « ordre de grandeur ») va être reprise ou non par le professeur lorsqu’il mettra en œuvre la situation qu’il a lui-même proposée.

La conception du SHTIS ou l’organisation des conditions d’appréhension des phénomènes par les membres de l’ingénierie

Un mois plus tard, le 21 mars 2018, le recueil des obtenus en classe est fait et le travail d’élaboration du SHTIS débute. Cette étape de conception (à ce stade le SHTIS n’est pas encore déployé), représente un premier moment « d’organisation d’appréhension des phénomènes par l’ingénierie et de leur dialogue », comme cela était exprimé dans la partie latérale gauche exposée précédemment et comme nous le signifions ci-dessous (voir figure 135) :

Figure 135. La phase d’organisation des conditions d’appréhension des phénomènes

Cette étape est cruciale car c’est à ce moment que le concepteur du SHTIS choisi de focaliser l’attention du lecteur sur tel ou tel aspect de l’activité conjointe du professeur et des élèves. Cette opération est rendue possible par le recours à un faisceau d’obtenus suffisamment étendu, d’une part, et par le fait que le professeur a fourni en amont un document synoptique sur lequel le concepteur peut s’appuyer. Cette phase d’organisation de la manière dont les phénomènes sont donnés à voir et à comprendre s’apparente à ce que Blocher et Lefeuvre (2017) nomment le montage narratif. Pour ces auteurs, le montage narratif représente « une forme de mise en intrigue, où le film d’étude dont nous expliquions précédemment qu’il représentait le film natif de la séance, est enrichi d’éléments non accessibles par son seul biais » (Blocher & Lefeuvre, 2017, p. 20). Pour ce qui nous concerne présentement, l’enrichissement n’a pas concerné le film natif de la séance dans son intégralité, mais des moments précis de ce dernier. Ces moments sont ceux qui ont été ciblés par le professeur lorsque celui-ci a proposé le scénario du SHTIS à produire. Il s’agit des temps de travail d’un des deux binômes d’élèves et de la discussion collective de sa production. Un autre élément de guidage du montage a été celui de l’intérêt porté à la dynamique d’utilisation du schéma ligne. Cela est notamment visible lorsque le SHTIS donne à voir une reproduction du schéma-ligne et une animation dudit schéma synchronisée avec le film natif. La chronophotographie suivante tente de rendre compte de cette dynamique. Le lecteur pourra quant à lui visionner l’extrait suivant :

Figure 136. Deux élèves produisant un pont sur le schéma ligne et un équivalent animé

Le 12 avril 2018, une première version du SHTIS est produite et mise à l’épreuve du collectif de l’ingénierie (restreint tout d’abord à quelques-uns de ses membres, puis dans son intégralité très rapidement après)[12]. Dès le 13 avril 2018, soit le lendemain de la diffusion du SHTIS, les échanges reprennent.

Du germe de l’idée d’approximation à une première proposition de jeu d’apprentissage

Dans ces échanges, diverses propositions d’amélioration du SHTIS sont produites. La reconstitution des courriels envoyés (figure 137 ci-dessous) permet de prendre connaissance de ces suggestions d’amélioration :

Le 13/04/2018 à 13 :52, Lerbour Olivier a écrit :

J’ai regardé cette 1ère version. Peut-être pourrions-nous insérer un commentaire (lorsque Medhi et Elsa font un pont de 4d pour aller de 60 à 90) pour signaler cette erreur mais préciser qu’elle sera étudiée en regroupement (ce que l’on voit ensuite effectivement) ?

Olivier

———————————————————————————-

Le 13 avr. 2018 à 13 :54, Jean-Noël Blocher a écrit :

 

Bonjour Olivier,

Oui, je me posais la question de la place de ce commentaire. On pourrait par exemple dire d’emblée qu’une erreur de calcul va être commise et matérialiser cette erreur (en détourant avec un cadre en couleur) au moment où elle se produit.

Jn

———————————————————————————-

Le 13 avril 2018 Sensevy Gérard a écrit :

Cher Jean-No, cher Olivier,

Merci Jean-No pour ce travail vraiment intéressant sur le plan du SHTIS, et Olivier sur le plan de ce qui est fait dans ta classe.

Je suis d’accord avec vos remarques sur l’erreur de calcul.

Il me semble qu’il faudrait nécessairement intégrer dans le même SHTIS :

– un deuxième exemple montrant une production « parfaitement » réussie (sans erreur finale) ;

– un troisième exemple montrant un travail avec la classe sur l’approximation préalable dont nous avons déjà parlé. Par exemple, pour un calcul 96 – 54 :

a) l’approximation, un travail du genre « 96 – 54, c’est environ 9 dizaines moins 5 dizaines, donc c’est environ 4 dizaines, donc c’est environ 40 ».

b) la tentative de calcul direct, un travail (plus ou moins verbalisé ou « intuitif ») du genre « 96- 54, c’est 9 dizaines moins 5 dizaines, et c’est 6 unités moins 4 unités, donc 96 – 54, c’est 4 dizaines plus 2 unités, donc c’est 42. On pourrait éventuellement donner à voir cela avec l’écriture en colonne.

On pourrait ensuite écrire aussi une autre manière de penser : 96 – 54 = 96 – 50 – 4 = 46 – 4 = 42

Olivier, serais-tu OK pour mettre en place un travail de ce type dans ta classe, qu’on viendrait filmer un peu plus tard ?

Sur l’ensemble du SHTIS, on aurait ainsi : un traitement d’une réussite ; un traitement d’une erreur ; une nouvelle manière de travailler le fil rouge (approximation préalable suivi d’un essai de calcul exact, avant le travail sur la ligne) issue du travail même des élèves.

Par ailleurs, Jean-No, l’ensemble du SHTIS me semble techniquement très réussi. Une direction d’amélioration me semble pouvoir être le fait de filmer aussi les élèves lors de la mise en commun, pour filmer effectivement le dialogue.

Par ailleurs, je propose de préférer le terme »stratégie« (dans d’autres cas le terme »technique« ) au terme »procédure ».

Bon après-midi,

Gérard

———————————————————————————-

Le 14/04/18, Jean-Noël Blocher a écrit :

Cher Gérard, cher Olivier,

Merci Gérard, pour les suggestions d’amélioration. J’ai quelques plans tournés avec la caméra mobile qui doivent permettre de montrer les élèves au moment du retour en collectif. J’ai par ailleurs la seconde mise en commun pour laquelle il ne me semble pas qu’il y avait d’erreur de calcul. Je vais intégrer ces éléments à une nouvelle version.

Olivier, penses-tu pouvoir filmer une ou deux séquences où l’on verrait les élèves travailler dans le sens de ce que dit Gérard (estimation d’une différence). Je peux aussi me rendre disponible pour venir filmer spécifiquement cette séquence. N’hésite pas à me dire ce que tu préfères.

Bon week end

Jn

———————————————————————————-

Le 14/04/2018, Lerbour Olivier a écrit :

Bonjour Gérard, bonjour Jean-No,

Je suis tout à fait en accord avec vos réflexions. Effectivement Jean-No, il y a aussi le 2e temps de regroupement sur l’autre production de deux élèves qui pourrait montrer le même type de travail sans erreur.

Et oui, cela me paraît tout à fait envisageable de filmer un temps de travail incluant les pistes dont tu parles Gérard.

Olivier

Figure 137. Reconstitution des échanges de courriels des 13 et 14 avril 2018

Nous entrons ici dans la phase du schéma que nous intitulions « production d’hypothèses de travail directement extraites de la pratique, à propos d’objets d’enseignement-apprentissage » et telle que nous la figurons ci-dessous (voir figure 138) :

Figure 138. La phase de production d’hypothèses de travail

La particularité de l’exemple qui sert notre description est que l’hypothèse de travail possède déjà un germe de description. Ce germe est celui de la « recherche de l’ordre de grandeur » tel qu’il a été nommé par Gérard Sensevy dans le courriel du 22 février 2018 précédemment montré (voir figure 138 ci-avant). Ce germe (et finalement le SHTIS dans son ensemble avec l’ajout du travail de second binôme notamment), se voit notablement précisé dans son courriel du 13 avril (cf. ci-dessus). Ainsi, Gérard Sensevy propose un travail de recherche de la différence en deux temps. Le premier de ces temps, est précisément lié au jeu d’approximation tandis que le second temps se sert du premier pour élaborer un calcul cohérent et orienté avec et par les termes en présence. Gérard Sensevy le propose ainsi :

«  un troisième exemple montrant un travail avec la classe sur l’approximation préalable dont nous avons déjà parlé. Par exemple, pour un calcul 96 – 54 :

  1. a) l’approximation, un travail du genre »96 – 54, c’est environ 9 dizaines moins 5 dizaines, donc c’est environ 4 dizaines, donc c’est environ 40 ».
  2. b) la tentative de calcul direct, un travail (plus ou moins verbalisé ou »intuitif« ) du genre »96- 54, c’est 9 dizaines moins 5 dizaines, et c’est 6 unités moins 4 unités, donc 96 – 54, c’est 4 dizaines plus 2 unités, donc c’est 42. On pourrait éventuellement donner à voir cela avec l’écriture en colonne.

On pourrait ensuite écrire aussi une autre manière de penser : 96 – 54 = 96 – 50 – 4 = 46 – 4 = 42

Olivier, serais-tu OK pour mettre en place un travail de ce type dans ta classe, qu’on viendrait filmer un peu plus tard ? »

D’une première proposition de jeu d’apprentissage à sa concrétisation en classe

Le 19 avril 2018, soit seulement sept jours après le déploiement du SHTIS, Olivier Lerbour prend en charge le tournage d’une séquence mettant à l’épreuve l’hypothèse de travail émise précédemment. La place de cette phase de mise en œuvre des hypothèses de travail en classe dans le schéma général qui guide notre description jusqu’ici est rappelée ci-dessous :

Figure 139. La phase de mise en œuvre des hypothèses de travail

Dans cette séquence, on voit des élèves se livrer au jeu d’approximation tel qu’il était né du dialogue d’ingénierie. Toutefois lors d’une phase de regroupement, le professeur est amené à produire l’équation suivante : « 93 – 41 = 9d – 5d = 4d ». Jugeant cette écriture abusive – l’approximation n’étant par définition pas une égalité mais une recherche d’ordre de grandeur –, Olivier Lerbour soumet l’idée de tourner une nouvelle séquence sans qu’il soit fait recours à l’égalité lorsqu’il s’agit du jeu d’approximation. Cette mise en débat donne lieu à l’apparition du signe « presque égal à » ou « ≈ », comme en atteste la reconstitution du courriel de Gérard Sensevy en date du 19 avril 2018 :

Le 19/04/18, Sensevy Gerard <gerard.sensevy@espe-bretagne.fr> a écrit :

Oui, tu as raison Olivier, c’est une écriture incorrecte strictement parlant.

On peut se dire effectivement qu’on va parler de ça, comme le précise Jean-No, en amont et en aval, mais peut-être serait-il plus judicieux, si cela te paraît jouable, de refaire un film.

Si cela est possible, tu pourrais, avec les élèves, utiliser le symbole « presque égal » ≈ en disant aux élèves « presque égal » en l’écrivant.

Tu pourrais alors « rejouer » l’ensemble de la « pièce » que tu as filmé (bien sûr avec d’autres élèves et d’autres nombres), avec deux modifications :

– tu utiliserais le symbole « presque égal » ≈ en disant aux élèves que dorénavant, la classe va l’utiliser. Également, dans l’écriture, par exemple, de 64 – 32, tu peux tout à fait leur proposer 60 – 30 + 4 – 2 (dans la vidéo, tu n’écris pas le « + », mais tu sépares l’écriture en dizaines de l’écriture en unités) ;

– dans la phase, très pertinente, d’invention de problèmes « immédiate » à partir d’une écriture, tu ferais en sorte que les élèves te proposent, pour la différence, pas seulement un problème de « reste » ou « manque », mais aussi un problème d’un autre type (par exemple comparaison), comme le fait le premier élève nommé, mais pas sur le « bon » résultat.

Qu’en penses-tu Olivier ?

Avec l’idée de toute manière, que ce dont on discute là (aussi bien stratégie d’estimation que usage du « presque égal » ≈) n’est pas simplement à usage unique pour le film SHTIS, mais destiné à durer dans ta classe et à migrer dans d’autres ?

On pourrait d’ailleurs proposer ce SHTIS lors de la réunion ACE avec les professeurs expérimentaux du 16 mai…

Gérard

Figure 140. Courriel de Gérard Sensevy du 19 avril 2018

Quelques jours plus tard, Olivier Lerbour produira une nouvelle séquence prenant en compte les mises à jour inhérentes au dialogue d’ingénierie. Cette séquence d’une durée de seize minutes est incluse au SHTIS général « explorons la ligne, explorons la différence dans la classe d’Olivier ». Elle est mentionnée comme une situation alternative ou, pour reprendre un concept désormais connu du lecteur, comme une situation contrefactuelle. Le lecteur pourra porter son attention sur le SHTIS qui suit :

D’une concrétisation particulière à l’institutionnalisation en classe

A la suite de l’inclusion de la situation alternative au SHTIS général, un dernier échange entre Gérard Sensevy et Olivier Lerbour prend vie. Cet échange (voir figure 141 ci-dessous) a pour thème la diffusion de l’idée-pratique d’approximation désormais incarnée dans la classe d’Olivier au sein de l’ingénierie puis de la dissémination de cette idée concrète au sein des classes qui composent le réseau ACE. Au moment où nous rédigeons ces lignes cette médiatisation n’a pas encore eu lieu et elle n’a été qu’évoquée dans l’échange à venir en date du 27 avril 2018 :

Le 27/04/18, Sensevy Gerard a écrit :

Cher Olivier,

J’ai pu voir le SHTIS qu’a réalisé Jean-No dans ta classe, qui me semble vraiment franchir un cap.

J’ai visionné aussi dans les grandes lignes ton travail de reprise avec l’utilisation du symbole « presque égal à ».

C’est vraiment très intéressant ! Il faudrait qu’on puisse réfléchir ensemble, à la rentrée, à la manière dont l’utilisation de ce symbole va maintenant « migrer » dans les pratiques des élèves, de sorte qu’on puisse un peu plus tard filmer son usage par les élèves, avant de diffuser au sein du LéA, puis du groupe expérimental.

Bon We, bonnes vacances,

Gérard

—————————————————-

Le 28/04/18, Olivier Lerbour a écrit :

Bonjour,

Oui, les élèves se sont emparés de ce symbole « presque égal » avec une facilité assez déconcertante lors des mises en commun. Elsa l’a déjà utilisé de sa propre initiative pour résoudre un problème de la classe de Sophie Poilpot[13] :

Olivier

Figure 141. Reconstitution des échanges de courriels des 27 et 29 avril 2018

Parmi les choses importantes, voire essentielles de notre point de vue, nous pouvons retenir la nécessité de mettre l’hypothèse de travail à l’épreuve des élèves, c’est-à-dire dans l’utilisation naturalisée qu’ils pourraient en avoir. Cette entreprise de naturalisation, initiée par le professeur en groupe classe et reprise naturellement par les élèves à l’occasion de travaux en autonomie est de nature à enrichir le système symbolique à la disposition des élèves pour représenter les mathématiques.

Par ailleurs, comme l’évoque Gérard Sensevy, cette naturalisation chez les élèves pourra alors donner lieu au recueil de nouveaux obtenus dont l’agencement en un faisceau organisé de traces et d’indices constituera le germe d’un nouveau SHTIS. Le schéma qui sert notre propos depuis le début de cette section se voyant de ce fait, augmenté d’une nouvelle itération. La figure 137 vise à évoquer l’état du schéma à ce moment du dialogue d’ingénierie :

Figure 142. La phase de déploiement d’un nouveau SHTIS : de nouvelles idées-pratiques en germe

On perçoit ici la manière dont le SHTIS initialement produit a pu donner lieu à un ensemble de phases telles qu’elles pouvaient être abstraitement contenues dans le schéma général que nous venons d’illustrer.

Grâce aux SHTIS comme instrument d’inscription – descriptions des phénomènes le collectif d’ingénierie voit sa compréhension générale de la séquence augmentée. De cette compréhension plus fine des pratiques naissent des idées-pratiques. Ces idées pratiques, une fois mises au cœur du dialogue d’ingénierie, deviennent des hypothèses de travail. La robustesse de ces hypothèses qui émanent du réel concret de la pratique en classe est alors éprouvée. Ces hypothèses éprouvées, à mesure qu’elles se naturalisent dans le style de pensée du collectif, donnent peu à peu naissance à des nouveaux dispositifs et de nouveaux gestes d’enseignement.

Maintenant que le lecteur connait la dynamique dont l’idée d’approximation a pu germer au sein de l’ingénierie, nous lui proposons une analyse didactique du jeu d’approximation tel qu’il a pu être mis en œuvre et recueilli dans le SHTIS « explorons la ligne, explorons la différence ».

Du dialogue d’ingénierie à sa traduction dans le langage de la TACD : une analyse

Comme nous venons de le voir, l’une des principales fonctions des SHTIS est d’augmenter le dialogue d’ingénierie en vue de mettre au jour des idées-pratiques. Ces idées-pratiques, véritables hypothèses de travail en puissance, émanent du concret de la pratique et sont éprouvées par elle (la pratique). De cette ascension concrète naissent des énoncés, des formules abstraites qui viennent parfaire la compréhension que l’on peut se construire de ladite pratique. Ainsi, du dialogue d’ingénierie à sa traduction dans le langage de la TACD, il n’y a qu’un pas. C’est ce pas que nous proposons au lecteur de franchir. Le pas qui nous mène à l’interface entre le travail d’ingénierie et le travail habituel du chercheur, tels que nous les concevons dans notre collectif.

Pour franchir ce pas, nous proposons au lecteur – recours désormais récurrent – de nous appuyer sur un SHTIS. Ce SHTIS a pour origine la situation d’approximation jouée dans la classe d’Olivier Lerbour, situation qui nous accompagne depuis le début de ce chapitre.

La présente section sera organisée en trois parties. Une première où nous préciserons la place du SHTIS qui sert notre propos au sein de l’ingénierie. La seconde consistera à décrire le SHTIS en question pour donner à voir et à comprendre l’effort de traduction que ce dernier recouvre. Enfin, une troisième partie nous permettra de lier la conception du SHTIS par et pour l’ingénierie au renouvellement des habitudes du chercheur en didactique.

 

La place du SHTIS « outils et systèmes de représentation dans ACE : une analyse » par et pour l’ingénierie

Avant d’entrer dans l’analyse du SHTIS qui a été produit, il convient de préciser la place que ce dernier prend dans l’ingénierie. Par place, nous entendons à la fois le positionnement chronologique du SHTIS dans l’économie générale qui a conduit à sa production, et le lieu où il prend actuellement place. A ces fins, nous mobiliserons la mémoire immédiate du lecteur qui vient de prendre connaissance – c’était l’objet de la section précédente – de la genèse de l’idée-pratique d’approximation.

Nous avions laissé le lecteur au moment où l’idée-pratique d’approximation était devenue une hypothèse de travail éprouvée en classe dans une forme de retour à la pratique. La figure à suivre précise les choses de ce point de vue, nous y avons coloré en rouge ledit moment :

Figure 143. La genèse de l’idée d’approximation : une chronologie

Comme l’évoque la figure, cette germination est à la fois précédée d’un avant (pointillés en haut de la figure) et d’un après (les pointillés en bas de la figure). L’objet du présent passage est de préciser ce qui a été mis en œuvre pour initier le futur de l’idée d’approximation. Cet objectif futur est d’ailleurs déjà précisé dans la figure ci-avant proposée. Ainsi, rappelons que le 27 avril 2017, Gérard Sensevy proposait de « réfléchir ensemble, à la rentrée, à la manière dont l’utilisation de ce symbole va maintenant »migrer« dans les pratiques des élèves, de sorte qu’on puisse un peu plus tard filmer son usage par les élèves, avant de diffuser au sein du LéA, puis du groupe expérimental ». En d’autres termes, il s’agit d’institutionnaliser l’utilisation du signe « presque égal » au sein de l’ingénierie puis dans ses sphères les plus proches. A cette fin, nous avons produit un SHTIS basé sur la séance origine d’approximation dans la classe d’Olivier. Compte tenu de la nature de l’objectif poursuivi, nous avons opté pour une forme de SHTIS dont l’objet ne serait pas seulement de décrire le morceau de pratique considéré mais également d’en produire une analyse. Cela nous a conduit à enrichir l’espace dédié aux analyses didactique tel qu’il figure dans l’interface générale de menu que nous rappelons ci-dessous :

Figure 144. L’interface proposée aux membres du LéA pour structurer les SHTIS produits dans le cadre de l’ingénierie

Au moment où nous produisions l’analyse en question, cet espace était déjà constitué d’un épisode intitulé « outils et systèmes de représentation dans ACE : une discussion ». Cet épisode rendait compte d’une discussion entre deux membres de l’ingénierie à propos du statut de la boîte à calcul dans le processus de fabrication de problèmes. Le lecteur pourra consulter la situation à l’origine de la discussion ci-dessous :

Nous avons donc produit une nouvelle interface faisant office de menu de second niveau, interface donnant accès aux deux SHTIS contenus dans cette section. Le nouveau SHTIS statique ainsi produit se transformait en un système modulaire tel qu’illustré par la figure suivante (figure 145) :

Figure 145. Vue sur le système modulaire du SHTIS« outils et systèmes de représentation dans ACE : une analyse »

Comme la figure l’illustre, nous avons opté pour la création d’un SHTIS basé sur deux catégories de modules : (i) ce qui a trait à la situation origine d’une part et (ii) ce qui a trait aux morceaux de pratique ou aux ressources mobilisés par l’analyse, d’autre part. Par ailleurs, comme indiqué sur la figure 145, le SHTIS dynamique, soit le film de pratique augmenté d’éléments permettant une meilleure compréhension du morceau de pratique considéré, est d’une durée de quarante-cinq minutes. Cette durée relativement longue s’explique par le fait que le film propose de (re)visonner la version non montée de la situation origine (d’une durée de seize minutes) avant de consulter la version analysée de cette même situation.

Si l’on revient à des considérations plus chronologiques qu’organisationnelles, il est alors possible d’augmenter la frise chronologique précédemment utilisée d’une étape supplémentaire. Cette étape est celle du déploiement du SHTIS à visée analytique au sein de l’ingénierie, comme permet de le constater la figure 146 modifiée :

Figure 146. Une nouvelle étape dans la genèse de l’idée d’approximation dans ACE

Par ailleurs et pour parfaire la vision que le lecteur peut se faire de la place du SHTIS dans la vie de l’ingénierie, une dernière figure peut être mobilisée. Il s’agit de la figure 147 qui fait état des fonctions de production et d’inscription de phénomènes ainsi que d’incarnation d’un style de pensée que le SHTIS recouvre. La figure telle qu’elle est présentée ici doit à cette aune être entendue comme le fruit d’une seconde itération[14], la première variation ayant eu lieu à partir du 12 avril 2018 comme indiqué dans la figure 147 ci-dessous :

Figure 147 modifiée. Les SHTIS, entre descriptions et inscriptions de phénomènes et incarnation d’un style de pensée

Maintenant que le lecteur a une connaissance précise de la place qu’occupe le SHTIS dans l’ingénierie, nous pouvons procéder à sa description. Dans cette seconde partie, comme évoqué au début de cette section, nous montrerons comment nous avons opéré la traduction de la situation dans le langage de la TACD.

Le SHTIS « outils et systèmes de représentation dans ACE : une analyse » et sa traduction dans le langage de la TACD

Le SHTIS que nous venons de positionner peut être consulté ici :[15]

Comme nous l’avons précédemment indiqué, le film du SHTIS a une durée de quarante-cinq minutes. Pour éviter une description chronologique qui pourrait paraitre laborieuse, nous choisissons ici de ne développer que certains passages, jugés clés. Ces passages sont ceux qui figurent dans le synopsis de la séquence origine. Ce synopsis figure ci-dessous (figure 148) :

Figure 148. La séquence « approximation » : un synopsis

La phase d’approximation

Cette phase dure un peu moins de quatre minutes. L’analyse qui est produite à son égard prend place au temps 00 :16 :18 du SHTIS qui sert notre analyse.

Au-delà du strict travail sur l’approximation, c’est finalement à un jeu complexe de référence entre un système symbolique existant et de nouvelles formes de représentation que se livrent conjointement élèves et professeurs. Ce jeu de traduction d’un système symbolique à un autre se révèle alors être une ascension, de l’abstrait d’une écriture posée en ligne au concret de sa traduction en un problème riche de sens pour les élèves.

Dès le temps 00 :01 :19 de la situation origine, le professeur met en place le système symbolique propre à la situation. Ce système représente ce qui est à connaitre dans cette nouvelle approche des situations d’enquête mathématique. En ce sens il fait partie du milieu didactique avec et dans lequel les élèves et le professeur vont être conjointement amenés à enquêter. Ce système symbolique est un ensemble composé de mots ou d’expressions (à peu près, environ, presque) et de signes (le signe presque égal, le « d » de dizaine et le « u » de unité). La figure suivante, extraite du SHTIS au temps 00 :03 :30 donne à voir ce que sera le système de signe en place un peu plus tard au tableau :

Figure 149. Le système de signe propre à l’approximation

Une fois ce système en place, au temps 00 :02 :20 de la situation origine, le professeur évoque la stratégie que les élèves ont à mettre en place pour parvenir à une approximation de la différence recherchée. A ce stade (CE1), Il s’agit pour les élèves de réduire les termes de la différence recherchée à leur nombre de dizaines. En verbalisant cette stratégie, il propose aux élèves une manière d’agir en présence de ce système symbolique nouveau. Il agit donc en direction du contrat didactique. La figure à suivre anticipe sur l’état du tableau afin de donner à voir ce que recouvre cette stratégie.

Figure 150. Un premier temps dans la stratégie générale d’approximation

Au temps 00 :02 :37 de la situation-origine, le professeur demande aux élèves d’oraliser le nom du signe qu’il écrit au tableau  (). En synchronisant de la sorte l’oralisation du signe par les élèves et son écriture en contexte (dans la position naturelle où ce signe est employé), le professeur accentue le travail de représentation de l’approximation chez les élèves. Là encore, le professeur tente de réduire l’incertitude inhérente à l’utilisation d’un système symbolique nouveau et participe ainsi à la naturalisation de ce nouveau système. Puis, à 00 :02 :45 de la situation origine, le professeur reprend le résultat réduit au nombre de dizaines (6d) et rétablit le résultat à l’échelle initiale des termes en présence, 60 unités. Ici c’est une forme de traduction que le professeur opère. Une traduction entre la manière dont la stratégie d’approximation conduit à représenter les termes de la différence (la décomposition en dizaines et en unités) et la manière conventionnelle de représenter un nombre. Ce faisant, le professeur crée du lien entre les deux systèmes de représentation. La composition suivante (figure 151) donne à voir ce que sont ces deux systèmes et la manière dont ils cohabitent au tableau. Il correspond à l’état du tableau au temps 00 :05 :35 :

Figure 151. La cohabitation de deux systèmes symboliques

A 00 :03 :15 de la situation origine, le professeur revient à une activité de recherche d’égalité. Mais il ne faut pas pour autant en déduire que la phase d’approximation se termine. En effet, ce retour vise à déterminer si l’enquête préalable d’approximation permet aux élèves de trouver le résultat sans déployer de stratégie plus lourde tel que le schéma-ligne. Un élève, Gustave, témoigne de la manière dont l’approximation préalable lui a permis de simplifier la recherche de différence finale. Pour lui, la décomposition des termes de la différence en dizaines et en unités a semblé décisive. Nous transcrivons ci-dessous les propos de Gustave et y ajoutons une image de l’état du tableau une fois l’échange terminé (figure 152) :

P : Gustave ?

Gustave : Bah tout à l’heure tu nous as dit qu’il y avait six dizaines et à cinq si on enlève encore trois on arrive à deux

P : A deux quoi ?

Gustave : A deux unités

P : A deux unités très bien/ Donc Gustave il a pris les dizaines et il a fait la différence entre les dizaines neuf dizaines moins trois dizaines et ensuite il a ajouté la différence entre les unités vas y Gustave

Gustave : J’ai fait euh cinq moins euh/

P : cinq unités

Gustave : moins trois

P : 3 unités d’accord ?

Figure 152. Un extrait transcrit et l’état du tableau au temps 00 :04 :05 de la situation origine

Le lecteur pourra noter que jusqu’ici, le professeur n’a pas encore rétabli l’écriture conventionnelle des termes et conserve un symbolisme basé sur la décomposition en dizaines et en unités. Ce sera chose faite quelques minutes plus tard, au temps 00 :04 :40 de la situation origine lorsque le professeur recompose le résultat et demande aux élèves d’oraliser cette recomposition. Les élèves produisent en chœur le résultat de la différence entre 95 et 33, soit 62.

Le professeur propose alors aux élèves d’écrire le calcul en colonne. Ce faisant, il établit du lien entre la nouvelle stratégie d’enquête par approximation qui consiste à décomposer les termes de la recherche en dizaines et en unités et une stratégie encore peu connue des élèves, celle du calcul en colonnes. Cette façon de lier ces deux systèmes de représentations d’une même recherche de différence peut être considérée comme une validation de la stratégie inédite que les élèves viennent de déployer. En d’autres termes, il institutionnalise l’emploi de la technique d’approximation comme préalable possible à la recherche d’une différence. La figure ci-dessous montre l’état du tableau une fois le calcul en colonne opéré :

Figure 153. L’état du tableau à la fin de la phase d’approximation

La phase d’exploration de la ligne

Le professeur reprend ce que le binôme d’élève avait produit au préalable. Il s’agit ici de revenir au schéma-ligne, autre système de représentation de la différence recherchée. De la même manière que pour le calcul en colonnes, et avec une pertinence encore plus forte pour la pratique usuelle des élèves, le professeur va se livrer à une série de traductions entre le résultat permis par l’approximation préalable et le résultat permis par l’utilisation des outils connus des élèves tel que le schéma-ligne. En faisant cela, il donne à la fois du crédit au recours à l’approximation et il donne un nouveau statut possible au schéma-ligne. Ce système de représentation devient ainsi un nouvel outil de vérification du résultat permis par l’approximation.

Ici, le système sémiotique que représente le schéma-ligne est à la fois de l’ordre du contrat – les élèves connaissent l’instrument et savent faire des choses avec – et de l’ordre du milieu – certaines fonctions de l’instrument sont encore inconnues des élèves.

Le professeur demande aux élèves si le binôme a bien placé les termes de la différence recherchée. En posant cette question il prolonge l’idée d’approximation ou de placement « à peu près ». Puis, au temps 00 :07 :25 de la situation origine, il complète le schéma ligne par le pont final représentant la somme des ponts intermédiaires, soit le résultat de la différence. La figure suivante illustre l’état du schéma-ligne une fois complété par le professeur :

Figure 154. Le professeur complète le schéma ligne par le pont représentant la différence recherchée

Ensuite, le professeur « fait évoluer » le schéma-ligne en traçant le pont menant de l’origine au plus petit des termes composant la différence recherchée, ici, 33, et en traçant le pont menant de l’origine au plus grand des termes en présence, ici 95. La figure suivante fait état de ces deux nouveaux ponts :

Figure 155. Le professeur complète le schéma ligne par le pont représentant la somme des termes en présence d’une part et par le pont menant de l’origine à 33, d’autre part

Au temps 00 :08 :10 de la situation origine, le professeur propose ensuite aux élèves d’observer la boîte et de produire les opérations représentées par ladite boîte. Le professeur poursuit sa stratégie de référencement[16] des différents systèmes de signes les uns avec les autres. Ici par exemple, tandis qu’il demande aux élèves si les termes inscrits dans la boîte sont bien positionnés, il fait explicitement référence aux ponts correspondants sur le schéma-ligne. Il favorise ainsi une opération de traduction du schéma-ligne vers la boîte, et réciproquement, ce processus de traduction figurant au cœur de ACE. Le moment sur lequel nous nous appuyons ici étant dynamique – le professeur exécute plusieurs gestes – nous ne saurions trop recommander au lecteur de quitter un instant l’espace de ce tapuscrit pour visionner l’extrait correspondant. Cet extrait est accessible ci-dessous :

Nous tentons ici d’en reproduire la dynamique au moyen des chronophotogrammes[17] à suivre (figure 156) :

Olivier décrit une courbe qui suit le pont d’une grandeur de 95 inscrit au tableau sur le schéma-ligne. Puis il montre le terme « 95 » de la main droite.

P : Dans 95

Olivier montre tour à tour le terme « 33 » et le terme « 62 » inscrits au tableau sur le schéma-ligne.

P : Il y a 33 P : et 62

Olivier montre à nouveau les termes en présence (95 et 33) en pointant cette fois-ci sur la boite à calcul.

P : Dans 95 P : Il y a bien 33

Olivier montre le dernier terme en présence en pointant « 62 » sur le boîte à calcul.

P : et 62

Figure 156. Chronophotogrammes de l’extrait 00 :32 :29 :04 à 00 :32 :35 :06 du SHTIS « Les outils de représentation dans la démarche ACE : une analyse »

Une fois l’ensemble des opérations passées en revue, le professeur poursuit la mise en traduction, le référencement des différents systèmes de représentations les uns avec les autres et propose aux élèves de traduire les différentes opérations, permises par les termes en présence et préalablement exprimées au moyen de la boîte, en problèmes concrets.

La phase de fabrication de problèmes

Pour initier cette phase de fabrication de problème, le professeur donne la consigne suivante :

P : Qui veut essayer de fabriquer un problème pour lequel il y aurait besoin d’utiliser ce calcul [P entoure l’opération 62 + 33 = 95] et la réponse au problème se serait quatre-vingt-quinze ? [P entoure 95 dans l’écriture 62 + 33 = 95] »

A mesure qu’il donne la consigne aux élèves, le professeur l’illustre en entourant certains termes de l’opération posée en ligne. La figure suivante montre cela :

Figure 157. Les termes du premier problème

Le professeur donne alors la parole à Inès, qui verbalise un problème de tout : « Louane a écrit 62 chansons, Julien Doré en a écrit 33. Combien ont-ils écrit de chansons en tout ? ». Il demande aux élèves le type de problème auquel il est fait référence ici. Ce faisant, il invite une fois encore les élèves à jouer au jeu de référencement, de traduction des systèmes symboliques entre eux, jeu qui guide son action depuis le début de la séquence. Pour affermir les liens qui unissent les systèmes symboliques entre eux, soit l’énoncé du problème et le schéma-ligne, le professeur se livre à nouveau à une gestuelle particulière pour illustrer son propos. Là encore la dynamique de l’extrait nous conduit à conseiller au lecteur de visionner l’extrait à venir :

Nous tentons à nouveau de traduire la dynamique de l’échange en ayant recours aux chronophotogrammes à suivre (figure 158) :

A mesure qu’Olivier parle des termes en présence dans le problème, il pointe de sa main les termes correspondant sur le schéma-ligne. Ici, « 33 » puis « 62 ».

P : On cherche le tout ici c’était les chansons de ?

Inès : Julien Doré

P : Julien Doré trente-trois ici les chansons de ?

Inès : Louane

Olivier décrit une courbe de la main droite qui suit le pont d’une valeur de 95, pont qui représente la somme des chansons de Louane et de Julien Doré.

P : Louane soixante-deux et donc quatre-vingt-quinze

Olivier effectue un geste circulaire de la main droite, geste qui épouse la forme du schéma-ligne inscrit au tableau

P : c’est bien les deux ensemble c’est bien le nombre de chansons

Figure 158. Chronophotogrammes de l’extrait 00 :35 :48 :06 à 00 :35 :51 :09 du SHTIS « Les outils de représentation dans la démarche ACE : une analyse »

Après avoir abordé les problèmes de tout et de reste, le professeur inverse sa stratégie et demande aux élèves de produire un problème particulier. Ici, un problème de comparaison.

Synthèse intermédiaire

En présentant l’approximation comme préalable nécessaire à l’enquête à laquelle les élèves sont habitués à se livrer – en recourant par exemple au schéma-ligne, puis à la boîte à calcul –, le professeur initie une nouvelle stratégie dans l’économie générale de recherche de la différence. Par-là il espère instituer un nouveau mode de représentation du nombre qui viendra enrichir la composante contractuelle de la situation didactique d’enquête mathématique, les habitudes d’action des élèves dans ce type de situation. Une fois la stratégie d’approximation éprouvée par le professeur et les élèves, le professeur crée du lien entre ce nouveau mode de représentation et les systèmes existants. Dans un jeu de traduction et de dialogue des systèmes symboliques les uns avec les autres, le professeur amène les élèves à réaliser l’ascension de l’abstrait d’une équation formelle, telle que « 95-33 », peut l’être, d’abord au concret sémiotique des systèmes de représentation en traduction réciproque, ensuite au concret sémantique et narratif du nombre de chansons que Louane et Julien Doré auraient écrits s’ ils s’étaient « alliés », par exemple[18].

A ce moment précis du chapitre, nous avons fait part au lecteur de la manière dont une idée-pratique a pu germer au sein de l’ingénierie jusqu’à faire l’objet d’un premier travail en classe. Puis, nous avons montré comment nous nous sommes saisi de cette séquence origine pour produire un nouveau SHTIS. Enfin, nous avons montré comment ce SHTIS avait permis une forme de traduction concrète des concepts d’une théorie – ici la TACD et sa manière de concevoir l’activité conceptuelle comme une traduction de représentations. Les propos à suivre viseront pour leur part à montrer en quoi l’épistémologie sous-jacente à la production des SHTIS est de nature à plaider pour un renouvellement des habitudes du chercheur en didactique.


Notes de fin de section

[1] Dans ce chapitre, nous qualifions les SHTIS de machines à mettre au jour et à décrire de phénomènes jusqu’ici non visibles. C’est ce que nous entendons par régimes de visibilités et d’énoncés, notions reprises de Deleuze.

[2]                    Deleuze traite du procédé d’écriture que Raymond Roussel a créé de toute pièce. Ce procédé, telle une machine à fendre les mots et à faire scintiller les visibilités trouve son explication dans un livre écrit par Roussel au titre évocateur : « Comment j’ai écrit certains de mes livres » (1936).

[3]                    Le terme doit ici être entendu au sens de Latour & Woolgar (1979) lorsqu’ils invitent à considérer les méthodes d’inscription. De la sorte, au même titre que les articles scientifiques sont pour Latour et Woolgar des inscripteurs constitutifs du « système d’inscription littéraire » des laboratoires, les SHTIS que nous concevons sont des inscripteurs audio-scripto-visuels qui participent à la création d’une culture commune.

[4]                    A l’occasion du premier colloque ACE qui s’est tenu à l’ESPE de Bretagne les 25 et 26 juin 2018, André Tricot faisait part de ses réserves sur la manière dont l’ingénierie pouvait se rendre capable de procéder à une diffusion exogène des fruits de son travail. Il nous semble que ce schéma est de nature à formaliser théoriquement la manière dont cette diffusion pourrait être assurée. Toutefois, rappelons-le, la partie latérale droite évolue selon une dynamique relativement lente.

[5]                    Le lecteur pourra se référer au lien suivant pour prendre connaissance de la conférence dans son intégralité : https://www.youtube.com/watch?v=AWnN0rUySww

[6]                    Les deux protagonistes en question sont membres de l’ingénierie depuis plus de trois ans au moment où nous décrivons leurs échanges.

[7]                    Faire cela, comme aurait pu le dire Bergson, reviendrait à se livrer au très complexe exercice d’intuition, seul exercice capable de rendre compte d’une forme de durée.

[8]                    L’accès à ces documents se fait généralement au moyen d’une fenêtre pop-up, le lecteur est donc invité à paramétrer son navigateur pour que celui-ci accepte ce type de fenêtres.

[9] Le fil rouge général « Explorer la ligne » est issu d’un travail de Josiane Ruellan, lui-même fruit de son master 2 recherche : Ruellan-Le Coat, J. (2017). « Des ponts et des graduations ». Explorer la ligne numérique au CE1 pour calculer une différence. Mémoire de Master. Université de Bretagne Occidentale, Brest, France.

[10]                 Au cas où le lecteur ne serait pas rompu aux outils de la démarche ACE, le journal du nombre est un dispositif de production d’écriture de mathématique par l’élève pour lui-même et pour le collectif. Le groupe de recherche à l’initiative du parcours M@gistère éponyme fonde sa définition du dispositif à partir d’une incitation à produire des mathématiques. Cette incitation est la suivante : « J’écris des mathématiques pour mieux comprendre les nombres et les signes mathématiques, pour mieux m’en servir, et pour que la classe comprenne mieux les nombres et les signes mathématiques, pour mieux s’en servir ». Matériellement, le journal du nombre est un cahier ou un bloc-notes que possède chaque élève et qu’il utilise en autonomie ou à l’initiative du professeur.

[11]                 Pour mémoire, à l’occasion du chapitre inaugural, nous nous sommes appuyés sur un SHTIS donnant à voir et à comprendre ce que recouvre la notion de double sémiose au sein de la TACD. Le lecteur pourra revoir ce SHTIS à l’adresse suivante : http://pukao.espe-bretagne.fr/public/tjnb/shtis_niveau_2_imadoi.mp4

[12]                 Le choix de proposer une forme d’avant-première se fonde avant tout sur des considérations éthiques. Bien que cette règle soit tacite et/ou qu’elle n’ait pas fait l’objet d’une demande spécifique d’un des protagonistes présents dans le SHTIS, nous pensons que cette règle est importante. Elle permet au professeur, notamment, de conserver la maitrise de l’image que le SHTIS véhicule de sa pratique. Dans le SHTIS qui nous occupe par exemple, nous nous sommes accordés sur le fait qu’un encart précisant qu’une erreur de calcul était produite par les élèves devait apparaitre au moment où celle-ci était produite. Cet encart apparait à la minute 00:04:06 du SHTIS et précise que le traitement collectif de l’erreur sera fait en collectif.

[13] Sophie Poilpot est professeur des écoles, membre de l’ingénierie didactique coopérative. Sa classe et celle d’Olivier Lerbour entretiennent une correspondance fondée sur la fabrication de problèmes d’addition et de soustraction.

[14]                 Nous avons essayé de signifier cela, avec plus ou moins de réussite, en plaçant la même figure en arrière-plan et en réduisant significativement son opacité.

[15]                 Fidèle à une stratégie désormais familière du lecteur, les lignes qui suivent vont consister en une mise à plat du SHTIS en question. Une fois encore, nous ne saurions trop recommander au lecteur de consulter le site compagnon de la présente thèse pour conserver une dynamique descriptive adaptée à un média lui-même dynamique. Rappelons que ce site est situé à l’adresse : http://blog.espe-bretagne.fr/parenthese/

[16] Nous appelons ici « référencement » le fait d’exprimer un système sémiotique en référence à un autre système sémiotique. Par exemple, on peut mettre en correspondance une boîte et un schéma-ligne en désignant la représentation d’un nombre (une grandeur) sur la boîte (resp. le schéma-ligne), pour désigner ensuite la représentation du même nombre (la même grandeur) sur le schéma-ligne (resp. la boîte). Le référencement est donc une opération de traduction d’un système sémiotique dans un autre, dans lequel l’un devient la référence de l’expression d’un autre (et réciproquement). A cette aune, le lecteur pourra retenir l’expression « mise en référence » comme synonyme de référencement.

[17] « Ces photogrammes ne rendent pas compte du jeu proxémique du regard qui alterne entre l’objet d’études (les représentations) et les élèves. En quelque sorte, le regard du professeur amène le regard es élèves aux « bons endroits », que la main par ailleurs désigne également » (Forest, correspondance). Pour s’en persuader, le lecteur pourra consulter l’extrait correspondant à l’adresse :

[18] Sans préjuger d’autres types de problèmes – par exemple de problèmes de soustraction – que cette structure mathématique peut modéliser.

Donner entre parenthèse cette oralisation. Essaie de faire en sorte autant que possible que le lecteur puisse se satisfaire raisonnablement d’une « première » lecture, sans visionnage du SHTIS proprement dit.