Histoire et légende

Extraits de Wikipedia

Archimède

Archimède comparant l'or et l'argent

Archimède est un savant grec qui vécut à Syracuse (Sicile) de 287 av. J.-C. à 212 av. J.-C.. Il est connu pour ses multiples travaux scientifiques, théoriques ou pratiques, que ce soit en mathématique ou bien en physique. Parmi ces derniers, son Traité des corps flottants jette les bases de ce qui sera plus tard la science nommée hydrostatique. C'est notamment dans cet ouvrage qu'il étudie avec rigueur l'immersion d'un corps, solide ou fluide, dans un autre, de densité inférieure, égale. Le théorème qui portera plus tard le nom du savant y est ainsi énoncé (ce théorème fut ensuite démontré au XVIe siècle).

La couronne du roi Hiéron II

Vitruve, architecte romain, rapporte que le roi Hiéron II de Syracuse (306-214) aurait demandé à son jeune ami et conseiller scientifique Archimède (âgé alors de 22 ans seulement) de vérifier si une couronne d'or, qu'il s'était fait confectionner comme offrande à Jupiter, était totalement en or ou bien si l'artisan n'y avait pas mis de l'argent. La vérification avait bien sûr pour contrainte de ne pas détériorer la couronne. La forme de celle-ci était en outre trop complexe pour effectuer un calcul du volume de l'ornement. Archimède aurait trouvé le moyen de vérifier si la couronne était vraiment en or, alors qu'il était au bain public, en observant comment des objets y flottaient. Il serait alors sorti dans la rue en s'écriant le célèbre « Eurêka » (j'ai trouvé).

Ce que constate Archimède au bain public est que, pour un même volume donné, les corps n'ont pas le même poids apparent, c'est-à-dire une masse par unité de volume différente. On parle de nos jours de masse volumique. L'argent (masse volumique 10 500 kg·m^-3) étant moins dense que l'or (masse volumique 19 300 kg·m^-3), il a donc une masse volumique plus faible. De là, Archimède déduit que si l'artisan a caché de l'argent dans la couronne du roi, alors elle a une masse volumique plus faible. Ainsi fut découverte la supercherie du joaillier.

La solution au problème

Pour répondre à la question du roi Hiéron, Archimède a donc pu comparer les volumes d'eau déplacés par la couronne et une masse d'or identique. Si les deux déplacent le même volume d'eau, leur masse volumique est alors égale et on peut en conclure que les deux sont composées du même métal. Pour réaliser l'expérience, on peut imaginer plonger dans un récipient rempli à ras-bord la masse d'or. Une certaine quantité d'eau débordera alors du récipient. Ensuite, on retire l'or et on le remplace par la couronne à étudier. Si la couronne est bien totalement en or, alors l'eau ne débordera pas. En revanche, si sa densité est plus faible, de l'eau supplémentaire débordera.

Cette méthode présente deux inconvénients. Le premier est qu'elle ne fait ici intervenir en rien le principe d'Archimède. Le second problème est qu'avec des conditions réalistes, en raison de la forme de la couronne et de la densité de l'or, la hauteur d'eau déplacée est très faible (inférieur au millimètre). Il est donc peu probable qu'Archimède ait pu tirer des conclusions significatives à partir d'une telle expérience.

Une méthode plus réaliste est la suivante. En disposant sur chaque bras d'une balance la couronne d'un côté et son poids égal en or, l'équilibre est initialement obtenu. Ensuite, on peut immerger les deux bras dans de l'eau. Si la couronne et l'or ont la même masse volumique, alors la poussée d'Archimède sera égale sur les deux bras de la balance et l'équilibre sera respecté. Si la couronne ne contient pas uniquement de l'or, alors elle subira une poussée d'Archimède plus importante et un déséquilibre sera alors visible.

Autres propositions du traité des corps flottants

Le traité des corps flottants contient d'autres propositions relatives au théorème d'Archimède :

• Proposition III : Un solide de même volume et de même poids (en fait de même masse volumique) que le liquide dans lequel il est abandonné y enfoncera de façon à n’émerger nullement au-dessus de la surface, mais à ne pas descendre plus bas.
• Proposition IV : Tout corps plus léger que le liquide où il est abandonné ne sera pas complètement immergé, mais restera en partie au-dessus de la surface du liquide.
• Proposition V : Un solide plus léger que le liquide dans lequel on l’abandonne s'y enfonce de telle façon qu’un volume de liquide égal à la partie immergée ait le même poids que le solide entier.
• Proposition VI : Lorsqu’un corps est plus léger que le liquide où on l’enfonce et remonte à la surface, la force qui pousse en haut ce corps a pour mesure la quantité dont le poids d’un égal volume de liquide surpasse le poids même du corps.
• Proposition VII : Un corps plus lourd que le liquide où on l’abandonne descendra au fond et son poids, dans le liquide, diminuera d’une quantité mesurée, par ce que pèse un volume de liquide égal à celui du corps.

Formulation du théorème d'Archimède